Число электронов, покидающих в единицу времени элемент фазового объема при испускании фонона ( , - волновой импульс фонона, - волновой импульс электрона после испускания фонона):

Пояснения к программе “Electron-Phonon 2T-kappa”

(полное название программы:

Two-temperature Thermal Conductivityity in Solid Metal

due to only Electron-Phonon Scattering)

Кинетическое уравнение для функции распределения электронов в металле при их столкновении с фононами при наличии градиента электронной температуры выглядит следующим образом:

- импульс электрона, связанный с его волновым вектором соотношением .

Учитывая, что температура электронов зависит от их координат, имеем . Учтем также, что - групповая скорость электронов,

и кинетическое уравнение приобретает вид

, (1)

Установившаяся функция распределения электронов в приближении слабого градиента температуры записывается в виде

где - фермиевская функция, функция распределения электронов при отсутствии поля.- поправка, связанная с градиентом температуры и малая в меру малости поля. -химический потенциал электронов.

Правая часть уравнения (1) – столкновительный член. В приближении времени релаксации с энергией электрона он записывается в виде .

Учитывая малость и , кинетическое уравнение (1) записываем как

Отсюда

, (2)

где

Распишем теперь более подробно столкновительный член уравнения (1).

Число электронов, покидающих в единицу времени элемент фазового объема при испускании фонона (,- волновой импульс фонона,- волновой импульс электрона после испускания фонона), равно:

(эффективная масса электронов, - скорость продольного звука). Множитель 2 здесь учитывает спиновое вырождение электронов.

- вероятность рассеяния электрона из состояния в состояние . При этом

(-плотность, -концентрация ионов, Z –заряд иона, -частота фонона).

- Фурье-компонента экранированного кулоновского взаимодействия иона с электроном с длиной экранирования , где постоянная экранирования определяется в томас-фермиевском приближении как

(-концентрация электронов). Тогда

- бозевская функция, . Она дает распределение фононов. На виде этого распределении не сказывается наличие градиента электронной температуры.

Число электронов, покидающих в единицу времени элемент фазового объема при поглощении фонона (,- волновой импульс фонона,- волновой импульс электрона до поглощения фонона):

Число электронов, входящих в единицу времени в элемент фазового объема при испускании фонона (,- волновой импульс фонона,- волновой импульс электрона после испускания фонона):

Число электронов, входящих в единицу времени в элемент фазового объема при поглощении фонона (,- волновой импульс фонона,- волновой импульс электрона до поглощения фонона):

Учитывая, что столкновения квазиупругие, , получаем

число электронов, покидающих в единицу времени элемент фазового объема при испускании фонона (,- волновой импульс фонона,- волновой импульс электрона после испускания фонона):

Изменение числа электронов в единицу времени в элементе фазового объема за счет столкновения с фононами

Подставляя сюда в виде (2), получаем

Учитывая , что при квазиупругих столкновениях ||=||= и вводя угол между и, угол между и , а также угол между и и угол между плоскостями, и , , получаем

(3)

При этом имеем

откуда

. (4)

Если записать , то при интегрировании по последнее слагаемое в (4) дает нуль, и из уравнения (3) получаем

Тогда

где

. (5)

Учитывая, что - угол между векторами и , равными по модулю , и , имеем

Интегрирование по при заданном заменяем интегрированием по (по . ). Обозначаем аргумент - функции

, (6)

где , а -угол между и . Тогда

Но из (6) получаем , поэтому

Введением переменной выражение (5) для частоты столкновения с фононами электрона с волновым вектором может быть переписано в виде

(7)

При имеем , тогда из (6) следует, что интегрирование по при ведется в пределах от до .

Учитывая, что и - модули векторов, нижний предел здесь всегда отрицательный (). Для того, чтобы интегрирование дельта-функции в выражении для парциальной частоты столкновений (7) давало отличный от нуля результат, необходимо, чтобы верхний предел был положительным ().

Из условия получаем . Учитывая еще, что (- дебаевский квазиимпульс, ), получаем область интегрирования в плоскости p-q:

Тогда при испускании фононов частота столкновений с ними электрона с импульсом

и при поглощении фононов

Согласно рисунку, интегрирование по ведется от 0 до при , и от 0 до при .

По найденной полной частоте столкновений электрона с импульсом с фононами как при их испускании, так и при их поглощениикоэффициент электронной теплопроводности находится как

Учитывая, что , имеем

Тогда

Введем среднюю частоту электрон-фононных столкновений и условия, что согласно Друде равняется

Отсюда

Входящую сюда теплоемкость при постоянном объеме, приходящуюся на единицу объема, , вычисляем как

где

Средний квадрат скорости электронов находим как